სიმრავლეთა თეორია ახლა მათემატიკის ნაწილია. ყველამ ვიცით, რომ სიმრავლე ეწოდება ელემენტების ნებისმიერი კოლექცია, რომელიც მკაფიოდ გამოირჩევა ერთმანეთისგან, რომლებსაც აქვთ ერთი (ან მეტი) საერთო მახასიათებელი. სიმრავლეთა თეორია შეისწავლის სიმრავლეების თვისებებსა და ურთიერთობებს; ამ დარგს ხელი შეუწყეს ბოლცანომ და კანტორმა, მოგვიანებით კი მე -20 საუკუნეში სხვა მათემატიკოსებმა, როგორიცაა ზერმელო და ფრაენკელი, სრულყოფილდნენ.
მნიშვნელოვანია, რომ ყველა სიმრავლე სრულყოფილად იყოს განსაზღვრული, ანუ ის ზუსტად დადგინდეს, ობიექტის გათვალისწინებით, იგი ეკუთვნის თუ არა სიმრავლეს.
- შიგნით მათემატიკა ეს ზოგადად მარტივია. მაგალითად, თუ გაითვალისწინება ლუწი რიცხვების 1-ზე მეტი და 15-ზე ნაკლები, ცხადია, რომ ეს სიმრავლე შედგება მხოლოდ 2, 4, 6, 8, 10, 12 და 14 ფიგურებისგან.
- საათზე საერთო ენა, ჯგუფზე საუბარი შეიძლება ბევრად უფრო არაზუსტი იყოს, რადგან თუ ჩვენ გვინდა საუკეთესო მომღერლების ჯგუფი ჩამოვაყალიბოთ, მოსაზრებები მრავალფეროვანი იქნება და აბსოლუტური კონსენსუსი არ იქნება იმის შესახებ, ვინ შევა ამ ჯგუფში და ვინ არა. ზოგიერთი სპეციალური ნაკრები არის ცარიელი სიმრავლეები (ელემენტებს მოკლებული) ან ერთეულის სიმრავლეები (მხოლოდ ერთი ელემენტით).
ობიექტებს, რომლებიც სიმრავლის ნაწილია, ეწოდება წევრები ან ელემენტები, და ნაკრები წარმოდგენილია სამაგრებში ჩასმული წერილობით ტექსტებში: {}. სამაგრის შიგნით, საგნები გამოყოფილია მძიმით. ისინი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვენის დიაგრამებით, რომლებიც თან ერთვის ელემენტების კოლექციებს, რომლებიც ქმნიან თითოეულ კომპლექტს მყარ და დახურულ ხაზში, ზოგადად წრის ფორმის. როდესაც ამ დახურული ხაზებიდან რამდენიმეა, თითოეულ მათგანს ენიჭება დიდი ასო (A, B, C და ა.შ.) და მათი გლობალური ნაკრები წარმოდგენილია ასო U- ით, რაც ნიშნავს უნივერსალურ სიმრავლეს.
კომპლექტებით შეგიძლიათ შეასრულოთ ოპერაციები; მთავარი პირობაა კავშირი, კვეთა, განსხვავება, კომპლემენტი და კარტესიული პროდუქტი. ორი და A სიმრავლეების კავშირი განისაზღვრება, როგორც A ∪ B სიმრავლე და ეს შეიცავს თითოეულ ელემენტს, რომელიც ერთ მათგანში მაინც არის. ზოგადი განტოლება, რომელიც მას წარმოადგენს, არის:
- რომ= {ხოსე, ჯერონიმო}, ბ= {მარია, მაიბელი, მარსელა}; AUB= {ხოსე, ჯერონიმო, მარია, მაიბელი, მარსელა}
- პ= {მსხალი, ვაშლი}, გ= {ლიმონი, ფორთოხალი}; ვ= {ალუბალი, მოცხარი};PUCUF = {მსხალი, ვაშლი, ლიმონი, ფორთოხალი, ალუბალი, მოცხარი}
- მ={7, 9, 11}, ნ={4, 6, 8}; მთვარე={7, 9, 11, 4, 6, 8}
- რ= {ბურთი, skate, paddle}, გ= {paddle, ball, skate}; RUG= {ბურთი, paddle, skate}
- გ= {გვირილა}, ს= {მიხაკი}; CUS = {გვირილა, მიხაკი}
- გ= {გვირილა}, ს= {მიხაკი}; თ= {ბოთლი}, CUSUT = {მარგარიტა, მიხაკი, ბოთლი}
- გ= {მწვანე, ლურჯი, შავი}, ჰ= {შავი}; GUH= {მწვანე, ლურჯი, შავი}
- რომ={ 1, 3, 5, 7, 9 }; ბ={ 10, 11, 12 }; AUB={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
- დ= {სამშაბათი, ხუთშაბათი}, და= {ოთხშაბათი, პარასკევი}; ᲒᲐᲛᲝ = {სამშაბათი, ოთხშაბათი, ხუთშაბათი, პარასკევი}
- ბ= {კოღო, ფუტკარი, კოლიბრი}; გ= {ძროხა, ძაღლი, ცხენი}; BUC= {კოღო, ფუტკარი, კოლიბრი, ძროხა, ძაღლი, ცხენი}
- რომ={2, 4, 6, 8}, ბ={1, 2, 3, 4}; AUB={1, 2, 3, 4, 6, 8}
- პ= {მაგიდა, სკამი}, Q= {მაგიდა, სკამი}; PUQ= {მაგიდა, სკამი}
- რომ= {პური}, B = {ყველი}; AUB= {პური, ყველი}
- რომ={20, 30, 40}, ბ= {5, 15}; AUB ={5, 15, 20, 30, 40}
- მ= {იანვარი, თებერვალი, მარტი, აპრილი}, ნ= {ნოემბერი, დეკემბერი}; მთვარე= {იანვარი, თებერვალი, მარტი, აპრილი, ნოემბერი, დეკემბერი}
- ვ={12, 22, 32, 42}, გ= {ა, ე, ი, ო, უ}; FUG= {12, 22, 32, 42, a, e, i, o, u}
- რომ= {ზაფხული}, ბ= {ზამთარი}; AUB= {ზაფხული, ზამთარი}
- ს= {სანდლი, ჩუსტი, ფლიპ ფლოპი}, რ= {პერანგი}; სამხრეთი= {სანდლი, ჩუსტი, ფლიპი, პერანგი}
- ჰ= {ორშაბათი, სამშაბათი}, რ= {ორშაბათი, სამშაბათი}, დ= {ორშაბათი, სამშაბათი}; HURUD= {ორშაბათი, სამშაბათი}
- პ= {წითელი, ლურჯი}, Q= {მწვანე, ყვითელი}, PUQ= {წითელი, ლურჯი, მწვანე, ყვითელი}
